Illustratorデータ作成時に、保存に時間がかかる、プリントできない（認証できるまで時間がかかる）、認証してから出力まで時間がかかる…時はデータの容量が大きすぎることが多いです。
効率よく制作＆出力するために、PDF化してプリント送信することをお薦めします。
＊PDFで別名保存する時は、ドキュメントのアートボードの大きさをプリントアウトしたい用紙の大きさにしておきます。

ファイルメニューから「別名で保存」

フォーマット＝AdobePDF形式を選び、保存をクリック。

「AdobePDFを保存」プリセット＝「PDF/X-1a:2001」に変更

「PDFを保存」をクリックします。
AcrobatReader、AcrobatProなどで開いてから、プリント送信します。

＊必ず別名保存してください。また、デスクトップに「出力用」などの名前のフォルダを作成し、オリジナルとは別の場所に保存することをお薦めします。Illustratorで再編集はできません。
＊関連ページ：
Adobe PDFファイルの作成：プリセットについてなど
AcrobatでPDFデータをプリントする方法
AcrobatでPDFデータを分割プリントする。